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为什么学线代时不知道：矩阵与图竟然存在等价关系
重点标签 矩阵理论、有向图、数学直观、图论、机器学习数学基础
文章摘要
数学家 Tivadar Danka 通过推文和博客文章生动地介绍了矩阵和图的等价性及其用途。他提出，非负矩阵可以等价地转换成对应的有向图，这种表示方式对矩阵和图论都大有帮助。例如，矩阵的每一行可以视为一个节点，每个元素则表示成一条有向且加权的边。这种等价表示有助于理解矩阵及其运算，简化计算过程，从新视角理解图。
Danka 还解释了矩阵幂与图中游走的关系。对于 n×n 的方形矩阵 A 的 k 次幂，每个元素的求和过程都会纳入所有可能的 k 步游走。此外，用图表示矩阵有助于深入了解非负矩阵的结构，特别是「强连通分量」的概念。强连通分量是指有向图中能够实现强连通的部分 / 子图。对应于强连通图的矩阵是不可约矩阵，而非负矩阵中的所有其它矩阵都是可约矩阵。
通过使用有向图来表示非负矩阵，我们可以轻松地将任意非负矩阵转换成弗罗贝尼乌斯标准形矩阵。这个过程包括为非负矩阵构建对应的有向图，找到其中的强连通分量，然后重新标注各个分量的内部节点。这种重新标注的过程就是使用一个置换矩阵 P 对原矩阵执行变换。
Danka 的这些观点不仅有助于图论研究，也能为线性代数的计算和分析提供新视角。此外，矩阵运算对于当前的大模型 AI 的重要性不言而喻，而以知识图谱为代表的图也正成为 AI 的重要助力。将矩阵和图关联起来，可能在 AI 可解释性以及图人工智能方面带来新的突破。
Danka 正在编写的《Mathematics of Machine Learning》一书将由浅入深地介绍与机器学习相关的数学知识，让读者真正知其然也知其所以然。这本书有望成为学习机器学习的最佳资源，目前已在网上发布了两章预览。
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原文作者: 机器之心
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